查找概论

1. 相关术语

• 査找表（Search Table）：由同一类型的数据元素（或记录）构成的集合;
• 关键字（Key）：数据元素中某个数据项的值，又称为键值，用它可以标识一个数据元素。
• 主关键字（Primary Key）：若某关键字可以唯一地标识一个记录，则称此关键字
• 次关键字 （Seconctary Key）：可以识别多个数据元素（或记录）的关键字，我们称为次关键字。也可以理解为是不以唯一标识一个数据元素（或记录）的关键字。

2. 查找定义

查找(Searching)就是根据给定的某个值，在査找表中碥定一个其关键字等于给定值的数据元素(或记录)

查找表按照操作方式来分有两大种：静态査找表和动态查找表。

静态査找表(Static SearchTable)：只作査找操作的査找表。它的主要操作有：

• 査询某个特定的数据元素是否在査找表中
• 检索某个特定的数据元素和各种属性

动态査找表(Dynamic Search Table)：在査找过程中同时插入査找表中不存在的 数据元素，或者从査找表中删除巳经存在的某个败据元素。显然动态查找表的操作就是两个：

• 查找时插入数据元素
• 査找时删除数据元素

下面介绍的查找算法只针对静态查找表，动态查找表将在后续学完二叉树后讲解。

顺序查找

1. 基本思想

顺序査找又叫线性査找，是最基本的査找技术，它的査找过程是：从表中第一个(或最后一个)记录开始，逐个进行记录的关键字和给定值比较，若某个记录的关键字和给定值相等，则査找成功，找到所査的记录；如果直到最后一个(或第一个)记录，其关键字和给定值比较都不等时，则表中没有所査的记录，査找不成功。

2. 代码实现

public int seqSearch(int[] arr, int findVal){
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		if (arr[i] == findVal) {
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

3. 思考总结

缺点：是当n 很大时，平均查找长度较大，效率低；

优点：是对表中数据元素的存储没有要求。另外，对于线性链表，只能进行顺序查找。

另外，由于査找槪率的不同，我们完全可以将容易査找到的记录放在前面，而不常用的记录放置在后面，效率就可以有大幅提髙。

折半查找

1. 基本思想

折半查找又称二分查找（Binary Search）。它的前提是线性表中的记录必须是关键码有序（通常从小到大有序），线性表必须采用顺序存储。

查找过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则查找过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。

这种查找算法每一次比较都使查找范围缩小一半。

2. 算法描述

给予一个包含 n个带值元素的有序数组A，查找元素为T：

1. 令left=0，right=n-1
2. 如果left>right，则搜索以失败告终
3. 令 mid(中间值元素)为 (left+right)/2；
4. 如果A[mid] < T，令 left为 m + 1 并回到步骤2 ；
5. 如果A[mid] < T，令 right为 m - 1 并回到步骤2；

3. 代码实现

public static int binarySearch(int[] arr,int findVal,int left,int right){
	if (left > right) {
		return -1;
	}
	int mid = (left + right) / 2;
	// 说明要查找的数在mid前面
	if (arr[mid] > findVal) {
		return binarySearch(arr, findVal, left, mid -1);
	}else if (arr[mid] < findVal) {
		return binarySearch(arr, findVal, mid + 1, right);
	}else{
		return mid;
	}
}

4. 思考总结

折半搜索每次把搜索区域减少一半，时间复杂度为 O(logn)，空间复杂度为O(1)。它显然远远好于顺序査找的O(n)时间复杂度了。

不过由于折半査找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态査找表，一次排序后不再变化，这样的算法已经比较好了。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。

插值查找

1. 基本思想

插值査找是根据要査找的关键字key与査找表中最大最小记录的关键字比较后的査找方法，其核心就在于插值的计算公式：

其中，key为待查找的元素，a为查找表，high为最高下标，low为最低下标。

2. 算法描述

基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提高查找效率。当然，差值查找也属于有序查找。

所以，插值查找只是将折半查找的插值计算方式改变了而已。

3. 代码实现

public static int binarySearch(int[] arr, int findVal, int low, int high) {

	// 注意：findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length-1] 必须需要
	// 否则我们得到的 mid 可能越界
	if (low > high || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {
		return -1;
	}
	// 求出mid, 自适应
	int mid = low + (high - low) * (findVal - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]);
	if (arr[mid] > findVal) {
		return binarySearch(arr, findVal, low, mid - 1);
	} else if (arr[mid] < findVal) {
		return binarySearch(arr, findVal, mid + 1, high);
	} else {
		return mid;
	}
}

4. 思考总结

应该说，从时间复杂度来看，它也是O(logn),但对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的査找表来说，插值査找算法的平均性能比折半査找要好得多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。

斐波那契查找

1. 基本思想

斐波那契是二分法的改进版，他跟插值查找类似。不同的是它利用了数学领域的黄金分割法则（也就是0.618法则），它避免死板的二分法则，在概率学领域减少了查找次数。

2. 算法描述

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即：mid = low + F(k-1) -1 ,（F代表斐波那契数列），如下图所示:

对F(k-1)-1的理解：

• 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1
• 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
• 但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可。

//获取到斐波那契分割数值的下标
while(high > f[k] - 1) {
	k++;
}

3. 代码实现

// 因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
// 非递归方法得到一个斐波那契数列
public static int[] fib() {
	int[] f = new int[maxSize];
	f[0] = 1;
	f[1] = 1;
	for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
	}
	return f;
}

public static int fibSearch(int[] a, int key) {
	int low = 0;
	int high = a.length - 1;
	int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
	int mid = 0; //存放mid值
	int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
	
	//获取到斐波那契分割数值的下标
	while(high > f[k] - 1) {
		k++;
	}
	
	//因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
	int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
	//使用a数组最后的数填充 temp
	for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
		temp[i] = a[high];
	}
	// 只要这个条件满足，就可以找
	while (low <= high) {
		mid = low + f[k - 1] - 1;
		
		if(key < temp[mid]) {
			//我们应该继续向数组的前面查找(左边)
			high = mid - 1;
			k--;
		}else if ( key > temp[mid]) {
			// 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
			low = mid + 1;
			k -= 2;
		} else { //找到
			//需要确定，返回的是哪个下标
			if(mid <= high) {
				return mid;
			} else {
				return high;
			}
		}
	}
	return -1;
}

4. 思考总结

斐波那契査找 的时间复杂也为O(logn),但就平均性能来说，斐波那契査找要优于折半査找。可惜如果是最坏情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧长半区在査找，则査找效率要低于折半査找。

还有比较关键的一点，折半査找是进行加法与除法运算(mid=(loww+high)/2),插值査找进行复杂的四则运算,而斐波那契査找只是最简单加减法运算(mid=low+F[k-1]-1)，在海量数据的查找过程中，这种细微的差别可能会影响最终的査找效率。